浪费了一天时间的双信封悖论

一个概率题浪费了一天时间。有时候觉得概率很神奇，理解以后经常会想：啊？原来这个世界是这样的。

下面的内容用到了高中概率知识，有兴趣可以往下看。

有两个信封，里面都有钱（两个信封的总额为 $t$，$t$为随机数，满足 $(0元, T元]$ 的均匀分布）。其中，一个信封的金额是另外一个的2倍。现在让你随便选择其中一个，里面的钱归你。

那么：

问题一：你选择了一个信封，现在给你一个机会可以换成另外一个信封，换不换？

问题二：你选择了一个信封，打开一看，发现里面有10元，换不换？

仔细想一下~~

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小明是这么想的：

我先选择了一个信封（信封A），里面有多少钱不知道，那就假设为$x$元吧。

那么另外一个信封（信封B），有50%的可能装有$2x$元，也有50%的可能装有$0.5x$元。则换信封的收益期望为：

$$2x\times50\%+0.5x\times50\%=1.25x元$$

显然，$1.25x$元 比 $x$元 多，所以应该换。

那么问题来了。换过以后，假设信封B为 $y元$，那么信封A有50%的可能装有 $2y元$，也有50%的可能装有 $0.5y元$。则换回信封A的收益期望为 $1.25y元$。所以应该再换成信封A。

小明陷入了无限循环……

小明把 $x$ 的情况搞错了：

小明将信封中钱的数额 $x$ 当成了一个只满足于某个分布的随机变量，从而得出了信封B的期望为 $1.25x$ 的错误结论。

在“信封A含有小钱”、“信封A含有大钱”这两个事件中，$x$ 不是同分布的：

• 数字列表项目如果信封A含有小钱，则 $x_1$ 表示信封A的数额，$2x_1$ 表示信封B的数额。
  它们的总额 $x_1 + 2x_1$ 满足 $(0元, T元]$ 的均匀分布。
  所以解方程后发现：
  $x_1$ 满足 $(0, \frac{T}{3}]$ 的均匀分布
  $x_1$ 的期望 = $0.5 \times \frac{T}{3} = \frac{T}{6}元$

• 如果信封A含有大钱，则它们的总额 $x_2 + \frac{x_2}{2}$ 满足 $(0元, T元]$ 的均匀分布。所以求得：
  $x_2$ 满足 $(0, \frac{2}{3}T]$ 的均匀分布

可以看出，在信封A里面含有小钱和大钱的两种情况下，x不是同分布的，简单的把x看作同样的分布计算出的信封B的期望是错误的。

让我们来计算一下换和不换的收益期望：

如果不换，那么：

$$收益的期望 = 0.5 \times x_1的期望 + 0.5 \times x_2的期望 = \frac{T}{4} 元$$

如果换，那么：

$$收益的期望 = 0.5 \times (2x_1的期望) + 0.5 \times (\frac{x_2}{2}的期望) = \frac{T}{4} 元$$

结论：换不换都行，不影响最终收益。

应该换。

在看到信封A里面有10元后，2个信封的总额已经不满足 $(0元, T元]$ 的均匀分布，而是满足 15元 和 30元 的二项分布。

此时2个信封$总额的期望 = 15 \times 0.5+ 30 \times 0.5 = 22.5元$。

所以当信封A是10元的时候，信封B的期望 = 12.5元。

结论：应该换。

不是。看到某个值的意义在于，当前信封B的事件空间被减小了。如果每局都换，事件空间又回到了和不看一样，整体收益的期望仍然是 $\frac{T}{4}$ 元。

只有在看到某个或某几个特定的值的时候换信封才会增加收益。